今回は、多角形の内角の和について学習していきます。

さっそく例題を解いてみましょう。

【例1】 五角形の内角の和を求めよ。

それでは、答え合わせです。
まずは教科書的な解法から。

【解1-1】 $180(5-2)=540$

図1
五角形の図1
一つの頂点から対角線を引いてできる三角形の数は$5-2$個。 よって五角形の内角の和は$180(5-2)=540$となります。 このことから、多角形の内角の和の公式は$180(n-2)$となります。

ところが、この方法は発想がかなり不自然。 そもそも、多角形を角の数で捉えること自体がかなり数学的です。 (例えば実生活で「五角形を描け」と言われたら、辺の数を数えながら描きますよね。)

そこで、辺の数と三角形の関係を考えます。
図2
五角形の図2
各辺から中央の点に向かって線を引けば、辺の数だけ三角形ができます。ただし、中央の点に関わる角は不要ですから360°をひきます。よって、

【解1-2】 $180\times5-360=540$

簡単ですよね。
さらにこのことから、n角形の内角の和は$180\times n-360$となります。
教科書の公式がピンとこない人はこちらを使いましょう。(もちろん式を変形すれば結局は同じ式になります)

【今回のポイント】